Introduction
Le cours fourni est illisible (probablement un fichier binaire corrompu ou un document Word encodé). En l'absence de texte exploitable, cette fiche de révision synthétise de manière complète et autonome les notions standard attendues pour un cours de lycée intitulé Suites. Le contenu ci-dessous couvre toutes les parties classiques d'un cours sur les suites numériques : définitions, types de suites, propriétés, méthodes de calcul, limites, monotonicité, convergence, opérations sur suites, suites arithmétiques et géométriques, suites définies par récurrence, et techniques de preuve.
Définitions fondamentales
- Suite : une suite est une fonction u d'un ensemble d'indices (souvent N ou N*) dans R (ou C). On note une suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} ou simplement (u_n).
- Terme général : u_n est le n-ième terme de la suite.
- Suite explicite : une suite où u_n est donné par une formule en n, par exemple u_n = 2n + 1 ou u_n = (-1)^n / n.
- Suite définie par récurrence : une suite où u_{n+1} est exprimé en fonction de u_n (et éventuellement de n), avec une condition initiale u_0 ou u_1.
- Suite majorée, minorée, bornée :
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Majorée : il existe M tel que pour tout n, u_n ≤ M.
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Minorée : il existe m tel que pour tout n, u_n ≥ m.
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Bornée : elle est à la fois majorée et minorée.
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Croissante : pour tout n, u_{n+1} ≥ u_n.
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Strictement croissante : u_{n+1} > u_n.
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Décroissante : u_{n+1} ≤ u_n.
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Strictement décroissante : u_{n+1} < u_n.
- Convergence : une suite (u_n) converge vers ℓ si pour tout ε>0 il existe N tel que pour n ≥ N, < ε. Si une suite converge, on dit qu'elle est convergente ; sinon, divergente.
- Limite : la valeur ℓ vers laquelle tend la suite.
- Suite divergente vers +∞ ou -∞ : u_n → +∞ si pour tout M il existe N tel que pour n ≥ N, u_n ≥ M (similaire pour -∞).
Exemples typiques de suites
Suites arithmétiques
- Définition : u_{n+1} = u_n + r, avec raison r constante.
- Formule explicite : u_n = u_0 + n r (ou u_n = u_1 + (n-1) r selon l'indice de départ).
- Somme des n+1 premiers termes : S_n = (n+1) * (u_0 + u_n) / 2.
- Caractéristiques :
- Si r > 0, la suite est strictement croissante.
- Si r < 0, elle est strictement décroissante.
- Si r = 0, elle est constante.
Suites géométriques
- Définition : u_{n+1} = q u_n, avec raison q constante.
- Formule explicite : u_n = u_0 q^n (ou u_n = u_1 q^{n-1}).
- Somme géométrique (n+1 premiers termes) : S_n = u_0 (1 - q^{n+1}) / (1 - q) si q ≠ 1.
- Caractéristiques :
- Si
< 1, u_n → 0.
- Si q = 1, la suite est constante.
- Si
> 1, la suite diverge en norme (tend vers ±∞ selon le signe et q).
Suites mixtes ou alternées
- Exemples : u_n = (-1)^n, u_n = (-1)^n / n.
- Une suite alternée peut converger (ex. (-1)^n / n → 0) ou diverger (ex. (-1)^n n diverge en ne possédant pas de limite finie).
Suites définies par récurrence