Variables aléatoires : loi binomiale, espérance
Introduction
La théorie des variables aléatoires est un outil fondamental en mathématiques, permettant de modéliser des situations d'incertitude. Parmi les différentes lois de probabilité, la loi binomiale se distingue par sa simplicité et son application dans de nombreux domaines. Dans ce cours, nous explorerons la loi binomiale, son espérance, et des exemples concrets pour mieux comprendre ces concepts.
La loi binomiale
La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une séquence d'expériences indépendantes, chacune ayant deux résultats possibles (succès ou échec). Elle est caractérisée par deux paramètres :
- n : le nombre d'essais
- p : la probabilité de succès à chaque essai
Formule de la loi binomiale
La probabilité d'obtenir exactement k succès (k ∈ {0, 1, ..., n}) est donnée par la formule :
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
où \( \binom{n}{k} \) est le coefficient binomial, calculé comme \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Exemple concret
Imaginons un jeu de dés où on lance un dé à six faces 10 fois. La probabilité d'obtenir un 6 lors d'un lancer est de 1/6. Si l'on veut savoir quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 six dans ces 10 lancers, on utilise la loi binomiale :
Calculons :
$$ P(X = 2) = \binom{10}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^8 $$