Second degré : trinôme, racines, factorisation

Introduction

Le chapitre sur le second degré est fondamental en mathématiques, car il permet de comprendre les comportements des fonctions quadratiques. Ce cours va explorer les trinômes, leurs racines et la factorisation, des concepts essentiels pour résoudre des équations et modéliser des situations réelles. À travers des exemples concrets, nous verrons comment ces notions s'appliquent dans divers contextes.

1. Le trinôme du second degré

Un trinôme du second degré s'écrit sous la forme :
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
avec \( a \neq 0 \). Les coefficients \( a \), \( b \) et \( c \) sont des réels. Le coefficient \( a \) détermine l'ouverture de la parabole : si \( a > 0 \), la parabole est tournée vers le haut, et si \( a < 0 \), elle est tournée vers le bas.

Exemple concret

Prenons le trinôme :
\[ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 \]
Ici, \( a = 2 \), \( b = -4 \), et \( c = 1 \). La parabole associée à ce trinôme s'ouvre vers le haut.

2. Les racines du trinôme

Les racines d'un trinôme sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) = 0 \). Pour déterminer ces racines, on utilise la formule du discriminant :
\[ riangle = b^2 - 4ac \]
Les racines sont données par :
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\triangle}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\triangle}}{2a} \]
Selon la valeur de \( \triangle \), on a trois cas possibles :

• \( \triangle > 0 \) : deux racines distinctes