Suites numériques : raisonnement par récurrence

Introduction

Le raisonnement par récurrence est une méthode puissante et élégante pour démontrer des propriétés concernant les suites numériques. Ce chapitre est essentiel car il permet de prouver des résultats qui peuvent sembler vrais pour de nombreux exemples, mais qui nécessitent une justification rigoureuse. En maîtrisant cette technique, vous serez en mesure de valider des conjectures sur les suites et de renforcer votre compréhension des mathématiques.

La récurrence est particulièrement utile dans le cadre des suites définies par des relations de récurrence, où chaque terme dépend des termes précédents. Cela vous permettra de mieux appréhender des concepts mathématiques plus avancés à l'avenir.

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, généralement définie par une formule ou une règle. Les éléments d'une suite sont souvent notés sous la forme \( u_n \), où \( n \) est un entier positif qui représente la position de l'élément dans la suite.

Exemples de suites

• Suite arithmétique : \( u_n = 2n + 3 \) (où \( u_1 = 5, u_2 = 7, u_3 = 9, ... \))


• Suite géométrique : \( v_n = 3^n \) (où \( v_1 = 3, v_2 = 9, v_3 = 27, ... \))

#### Mini-exercice : Calculer les premiers termes d'une suite
Calculons les premiers termes de la suite définie par \( w_n = 4n - 1 \).

Correction :

• \( w_1 = 4(1) - 1 = 3 \)


• \( w_2 = 4(2) - 1 = 7 \)


• \( w_3 = 4(3) - 1 = 11 \)

Ainsi, les trois premiers termes de la suite \( w_n \) sont 3, 7, et 11.

Autre exemple : Suite exponentielle

Considérons une suite exponentielle définie par \( z_n = 2^n \).

• \( z_1 = 2^1 = 2 \)


• \( z_2 = 2^2 = 4 \)


• \( z_3 = 2^3 = 8 \)

Les trois premiers termes de la suite \( z_n \) sont donc 2, 4, et 8.

2. Principe de récurrence

Le raisonnement par récurrence est structuré en trois étapes :