Dérivation : nombre dérivé et fonction dérivée

Introduction

La dérivation est une notion clé en mathématiques qui permet de comprendre comment une fonction évolue. En Première générale, vous allez découvrir le concept de nombre dérivé et de fonction dérivée, qui sont essentiels pour analyser les variations des fonctions. Ce chapitre vous aidera à mieux appréhender des notions comme la tangente à une courbe et les vitesses instantanées. En outre, la dérivation est un outil fondamental dans de nombreux domaines tels que la physique, l'économie, et même la biologie. La compréhension de ces concepts est non seulement cruciale pour vos études en mathématiques, mais elle est également applicable dans des situations pratiques de la vie quotidienne.

1. Le nombre dérivé

1.1 Définition

Le nombre dérivé d'une fonction f au point a, noté f'(a), mesure la variation de f lorsque x varie autour de a. Il est défini par la limite suivante :

$$f^{\prime }(a)={\text{lim}}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Cette définition repose sur l'idée que l'on peut approcher la pente de la tangente à la courbe de la fonction en considérant des variations infinitésimales autour du point a. Le nombre dérivé est donc une mesure de la rapidité avec laquelle la fonction change à ce point précis. Cette notion est particulièrement utile pour analyser le comportement local des fonctions et pour résoudre des problèmes d'optimisation.

1.2 Interprétation géométrique

Géométriquement, le nombre dérivé représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction f au point (a, f(a)). Plus la valeur de h est petite, plus la droite qui relie les points (a, f(a)) et (a + h, f(a + h)) ressemble à la tangente. Cela nous permet de visualiser comment la fonction se comporte localement autour de ce point. Cette interprétation géométrique est essentielle pour comprendre les concepts de croissance et de décroissance des fonctions.

#### Exemple concret
Considérons la fonction f(x) = x². Pour déterminer le nombre dérivé en a = 2 :

$$f^{\prime }(2)={\text{lim}}_{h\to 0}\frac{(2+h{)}^2-2^2}{h}={\text{lim}}_{h\to 0}\frac{4+4h+h^2-4}{h}={\text{lim}}_{h\to 0}\frac{4h+h^2}{h}={\text{lim}}_{h\to 0}(4+h)=4$$

Le nombre dérivé f'(2) est donc égal à 4, ce qui signifie que la pente de la tangente à la courbe en (2, 4) est 4. Cela indique que, localement, la fonction augmente à un rythme de 4 unités de y pour chaque unité de x. Cette information est cruciale pour des applications telles que la physique, où la pente peut représenter une vitesse.

#### Mini-exercice
Calculez le nombre dérivé de la fonction f(x) = 3x³ au point a = 1.

Correction :

$$f^{\prime }(1)={\text{lim}}_{h\to 0}\frac{3(1+h{)}^3-3(1{)}^3}{h}={\text{lim}}_{h\to 0}\frac{3+9h+9h^2+3h^3-3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{9h+9h^2+3h^3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(9+9h+3h^2)=9$$

Le nombre dérivé f'(1) est donc égal à 9, indiquant que la pente de la tangente à la courbe en (1, 3) est 9.