Dérivation : nombre dérivé et fonction dérivée

Introduction

La dérivation est une notion clé en mathématiques qui permet de comprendre comment une fonction évolue. En Première générale, vous allez découvrir le concept de nombre dérivé et de fonction dérivée, qui sont essentiels pour analyser les variations des fonctions. Ce chapitre vous aidera à mieux appréhender des notions comme la tangente à une courbe et les vitesses instantanées.

1. Le nombre dérivé

1.1 Définition

Le nombre dérivé d'une fonction f au point a, noté f'(a), mesure la variation de f lorsque x varie autour de a. Il est défini par la limite suivante :

$$
f'(a) = ext{lim}_{h o 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$$

1.2 Interprétation géométrique

Géométriquement, le nombre dérivé représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction f au point (a, f(a)). Plus la valeur de h est petite, plus la droite qui relie les points (a, f(a)) et (a + h, f(a + h)) ressemble à la tangente.

#### Exemple concret
Considérons la fonction f(x) = x². Pour déterminer le nombre dérivé en a = 2 :

$$
f'(2) = ext{lim}_{h o 0} \frac{(2 + h)² - 2²}{h} = ext{lim}_{h o 0} \frac{4 + 4h + h² - 4}{h} = ext{lim}_{h o 0} \frac{4h + h²}{h} = ext{lim}_{h o 0} (4 + h) = 4
$$

Le nombre dérivé f'(2) est donc égal à 4, ce qui signifie que la pente de la tangente à la courbe en (2, 4) est 4.

2. La fonction dérivée