Fonction trigonométrique : sinus et cosinus

Introduction

Les fonctions trigonométriques jouent un rôle fondamental en mathématiques, en particulier dans l'étude des phénomènes périodiques. Dans ce chapitre, nous allons explorer les fonctions sinus et cosinus, leurs propriétés, leurs applications et comment les utiliser pour résoudre des problèmes concrets. Comprendre ces fonctions est essentiel non seulement pour le programme de mathématiques, mais aussi pour des disciplines comme la physique et l'ingénierie.

1. Définition des fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur le cercle trigonométrique, un cercle de rayon 1. Pour un angle B8 mesuré en radians, on définit :

• Sinus : \( ext{sin}( heta) = \frac{y}{r} \) où \( y \) est la coordonnée verticale du point sur le cercle et \( r \) est le rayon (qui est égal à 1).


• Cosinus : \( ext{cos}( heta) = \frac{x}{r} \) où \( x \) est la coordonnée horizontale du point sur le cercle.

Exemple concret

Prenons l'angle \( heta = \frac{\pi}{6} \) (30 degrés). Sur le cercle trigonométrique :

• \( ext{sin}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \)


• \( ext{cos}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

2. Propriétés des fonctions sinus et cosinus

2.1 Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques avec une période de \( 2\pi \). Cela signifie que :

• \( ext{sin}( heta + 2k\pi) = ext{sin}( heta) \)


• \( ext{cos}( heta + 2k\pi) = ext{cos}( heta) \)

2.2 Valeurs remarquables

Il est important de connaître certaines valeurs remarquables :