Fonction trigonométrique : sinus et cosinus

Introduction

Les fonctions trigonométriques jouent un rôle fondamental en mathématiques, en particulier dans l'étude des phénomènes périodiques. Dans ce chapitre, nous allons explorer les fonctions sinus et cosinus, leurs propriétés, leurs applications et comment les utiliser pour résoudre des problèmes concrets. Comprendre ces fonctions est essentiel non seulement pour le programme de mathématiques, mais aussi pour des disciplines comme la physique et l'ingénierie. Ces fonctions sont souvent utilisées dans des contextes variés, allant de l'analyse des ondes sonores à la modélisation des mouvements des planètes.

Les fonctions sinus et cosinus sont également très utiles dans la résolution de triangles, tant dans le cadre de la géométrie plane que dans la trigonométrie sphérique. En effet, elles permettent de déterminer des longueurs et des angles dans diverses situations pratiques, comme en navigation ou en architecture. Au cours de ce chapitre, nous allons donc aborder ces fonctions sous plusieurs angles, en les reliant à des concepts mathématiques fondamentaux.

1. Définition des fonctions sinus et cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur le cercle trigonométrique, un cercle de rayon 1. Pour un angle θ mesuré en radians, on définit :

• Sinus : \( ext{sin}( heta) = rac{y}{r} \) où \( y \) est la coordonnée verticale du point sur le cercle et \( r \) est le rayon (qui est égal à 1).


• Cosinus : \( ext{cos}( heta) = rac{x}{r} \) où \( x \) est la coordonnée horizontale du point sur le cercle.

Exemple concret

Prenons l'angle \( heta = rac{ ext{pi}}{6} \) (30 degrés). Sur le cercle trigonométrique :

• \( ext{sin}igg(rac{ ext{pi}}{6}igg) = rac{1}{2} \)


• \( ext{cos}igg(rac{ ext{pi}}{6}igg) = rac{ ext{sqrt}(3)}{2} \)

Pour un angle de \( heta = rac{ ext{pi}}{3} \) (60 degrés) :

• \( ext{sin}igg(rac{ ext{pi}}{3}igg) = rac{ ext{sqrt}(3)}{2} \)


• \( ext{cos}igg(rac{ ext{pi}}{3}igg) = rac{1}{2} \)

1.1 Relation avec les angles

Il est également important de noter que les valeurs de sinus et cosinus sont liées par la formule suivante :

• \( ext{sin}( heta) = ext{cos}igg(rac{ ext{pi}}{2} - hetaigg) \)

Cette relation est très utile pour passer d'une fonction à l'autre et pour résoudre des équations trigonométriques. Par exemple, si l'on sait que \( ext{cos}igg(rac{ ext{pi}}{4}igg) = rac{ ext{sqrt}(2)}{2} \), alors on peut conclure que \( ext{sin}igg(rac{ ext{pi}}{4}igg) = rac{ ext{sqrt}(2)}{2} \) également.

2. Propriétés des fonctions sinus et cosinus

2.1 Périodicité

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques avec une période de \( 2 ext{pi} \). Cela signifie que :

• \( ext{sin}( heta + 2k ext{pi}) = ext{sin}( heta) \)


• \( ext{cos}( heta + 2k ext{pi}) = ext{cos}( heta) \)