Nombres et calculs : nombres réels et fractions

Introduction

Ce chapitre aborde les nombres réels et les fractions, des concepts fondamentaux en mathématiques. Maîtriser ces notions est crucial pour réussir vos études et envisager des spécialités en première. Nous allons explorer la manipulation de ces nombres, les calculs associés et leurs applications concrètes, tout en renforçant votre compréhension par des exemples chiffrés et des exercices pratiques. En effet, la compréhension des nombres réels et des fractions est non seulement essentielle pour les mathématiques, mais elle est également omniprésente dans la vie quotidienne, que ce soit dans la gestion de vos finances personnelles ou dans des situations pratiques comme la cuisine.

1. Les nombres réels

Les nombres réels englobent tous les nombres utilisés au quotidien, qu'ils soient entiers, rationnels ou irrationnels. Ils peuvent être représentés sur une droite numérique, où chaque point correspond à un nombre réel. Cette représentation est un outil puissant qui aide à visualiser les relations entre les différents types de nombres.

1.1 Types de nombres réels

• Nombres entiers : 0, 1, -1, 2, -2, etc. Ce sont des nombres sans partie fractionnaire.


• Nombres rationnels : fractions comme 1/2, 3/4, qui peuvent s'écrire sous la forme a/b, avec a et b des entiers et b non nul. Par exemple, 0,5 est un nombre rationnel car il peut être écrit comme 1/2.


• Nombres irrationnels : racines carrées de nombres non carrés parfaits, comme √2 ou π, qui ne peuvent pas être exprimés sous forme de fraction. Par exemple, π est un nombre irrationnel qui représente la relation entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.

Exemple concret

Prenons le nombre 0,75. C'est un nombre rationnel car il peut être exprimé sous la forme 3/4. En revanche, √3 est un nombre irrationnel, car il ne peut pas être écrit sous forme de fraction. Un autre exemple est le nombre 0,666..., qui est un nombre rationnel car il peut être écrit sous la forme 2/3.

Mini-exercice

Question : Déterminez si les nombres suivants sont rationnels ou irrationnels :
1. 2/3
2. √5
3. 0,333...
4. π

Correction :
1. Rationnel (2/3)
2. Irrationnel (√5)
3. Rationnel (0,333... = 1/3)
4. Irrationnel (π)

2. Intervalles de ℝ

Les intervalles de ℝ permettent de décrire des ensembles de nombres réels. Ils sont utilisés pour définir des domaines de valeurs dans lesquels une variable peut évoluer. La compréhension des intervalles est essentielle pour résoudre des inégalités et pour l'analyse des fonctions.

2.1 Notations des intervalles

• Intervalle fermé : [a, b] inclut les bornes a et b. Par exemple, l'intervalle [1, 5] inclut les nombres 1 et 5.


• Intervalle ouvert : ]a, b[ n'inclut pas les bornes. Par exemple, l'intervalle ]1, 5[ n'inclut ni 1 ni 5.


• Intervalle semi-ouvert : [a, b[ inclut a mais pas b, et ]a, b] inclut b mais pas a. Par exemple, [1, 5[ inclut 1 mais pas 5.

Exemple concret

L'intervalle [2, 5] représente tous les nombres réels entre 2 et 5, y compris 2 et 5. L'intervalle ]2, 5] inclut 5 mais pas 2. Pour mieux comprendre, considérons l'intervalle ]0, 10[ qui inclut tous les nombres réels entre 0 et 10, sans inclure ces deux bornes.

Cas pratique

Question : Quel nombre appartient à l'intervalle ]3, 7[ ?