Chapitre : Calcul littéral et équations du premier degré

Introduction

Le calcul littéral et les équations du premier degré constituent des outils essentiels en mathématiques, permettant de modéliser et de résoudre divers problèmes. Ce chapitre explorera les identités remarquables, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que les systèmes d'équations. Ces compétences sont non seulement cruciales pour le Bac, mais également pour les spécialités futures.

1. Identités remarquables

Les identités remarquables sont des égalités qui simplifient le calcul littéral. Elles sont fondamentales pour développer des expressions algébriques et résoudre des équations. En les maîtrisant, vous pourrez effectuer des calculs plus rapidement et avec moins d'erreurs.

1.1 Identité du carré d'une somme

L'identité du carré d'une somme est donnée par :
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Démonstration :
En développant \((a + b)(a + b)\), on obtient :
\[a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

#### Exemple concret
Pour \(a = 3\) et \(b = 2\) :
\[(3 + 2)^2 = 5^2 = 25\]
\[3^2 + 2(3)(2) + 2^2 = 9 + 12 + 4 = 25\]

#### Mini-exercice
Calculez \((4 + 5)^2\) en utilisant l'identité du carré d'une somme.
Correction :
\((4 + 5)^2 = 9^2 = 81\)
\[4^2 + 2(4)(5) + 5^2 = 16 + 40 + 25 = 81\]

1.2 Identité du carré d'une différence

L'identité du carré d'une différence est :
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Démonstration :
En développant \((a - b)(a - b)\), on obtient :
\[a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

#### Exemple concret
Pour \(a = 5\) et \(b = 1\) :
\[(5 - 1)^2 = 4^2 = 16\]
\[5^2 - 2(5)(1) + 1^2 = 25 - 10 + 1 = 16\]

#### Mini-exercice
Calculez \((7 - 3)^2\) en utilisant l'identité du carré d'une différence.
Correction :
\((7 - 3)^2 = 4^2 = 16\)
\[7^2 - 2(7)(3) + 3^2 = 49 - 42 + 9 = 16\]

1.3 Identité de la différence de carrés

L'identité de la différence de carrés est :
\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\]
Démonstration :
En développant \((a + b)(a - b)\), on obtient :
\[a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2\]

#### Exemple concret
Pour \(a = 4\) et \(b = 2\) :
\[4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12\]
\[(4 + 2)(4 - 2) = 6 \times 2 = 12\]

#### Mini-exercice
Calculez \(9^2 - 4^2\) en utilisant l'identité de la différence de carrés.
Correction :
\[9^2 - 4^2 = 81 - 16 = 65\]
\[(9 + 4)(9 - 4) = 13 \times 5 = 65\]