Cours de Mathématiques : Fonctions - Généralités, Variations, Représentations

Introduction

Les fonctions sont des concepts fondamentaux en mathématiques, servant à modéliser de nombreuses situations dans divers domaines tels que la physique, l'économie ou la biologie. Ce chapitre vous propose d'explorer les éléments essentiels des fonctions, leurs variations et leurs représentations graphiques. Maîtriser ces notions est crucial pour votre réussite en mathématiques et pour votre orientation future, notamment dans le choix de vos spécialités en classe de première. En effet, une compréhension approfondie des fonctions vous permettra d'aborder des concepts plus avancés en mathématiques et dans d'autres disciplines.

1. Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est une relation qui associe chaque élément d'un ensemble de départ (appelé domaine) à un unique élément d'un ensemble d'arrivée (appelé codomaine). Cette relation est souvent notée f. Comprendre ce qu'est une fonction est essentiel pour toute étude mathématique, car cela constitue la base de nombreuses autres notions.

1.1 Notation et exemples

• Notation : On note généralement une fonction sous la forme f(x), où x représente la variable indépendante. L'ensemble des valeurs que peut prendre x est appelé le domaine de la fonction. Le codomaine est l'ensemble des valeurs possibles que peut prendre f(x).


• Exemple concret : Prenons la fonction f(x) = 2x + 3. Pour x = 2, on calcule :

f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7.
Cela signifie que lorsque x vaut 2, la valeur de f(x) est 7.
Pour x = -1, on a :
f(-1) = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1.
Ainsi, f(-1) = 1.
Un autre exemple serait la fonction f(x) = x², où pour x = 3, f(3) = 3² = 9, et pour x = -2, f(-2) = (-2)² = 4.

#### 1.1.1 Exemple supplémentaire
Considérons la fonction f(x) = 3x - 5. Pour x = 4, on calcule :
f(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7.
Pour x = 0,
f(0) = 3(0) - 5 = -5.
Ainsi, f(4) = 7 et f(0) = -5.

1.2 Cas pratique : Déterminer le domaine d'une fonction

Considérons la fonction g(x) = \( \frac{1}{x-1} \) . Pour déterminer son domaine, il faut éviter les valeurs de x qui rendent le dénominateur nul. Ici, x - 1 = 0 lorsque x = 1. Donc, le domaine de g est :
D(g) = \( ](-\infty, 1) \cup (1, +\infty) ] \).
Mini-exercice : Déterminez le domaine de la fonction h(x) = \( \sqrt{x - 4} \).
Correction : Pour que h soit définie, x - 4 doit être supérieur ou égal à 0, donc x ≥ 4. Ainsi, D(h) = \( [4, +\infty) \).

2. Variations d'une fonction

Les variations d'une fonction décrivent comment sa valeur change en fonction de la variable indépendante x. Pour analyser ces variations, on utilise un tableau de variations qui résume les comportements de la fonction sur des intervalles donnés. Cette analyse est cruciale pour comprendre le comportement global d'une fonction.