Fonctions affines et fonctions du second degré

Introduction

Les fonctions affines et les fonctions du second degré sont deux concepts fondamentaux en mathématiques, particulièrement dans le cadre du programme de Seconde. Elles nous permettent de modéliser de nombreuses situations de la vie quotidienne, comme les finances ou les mouvements physiques. Comprendre ces fonctions est essentiel pour réussir dans les mathématiques et pour préparer votre orientation vers la Première et vos futures spécialités. Dans ce cours, nous allons approfondir ces concepts, en les illustrant par des exemples concrets et des exercices pratiques.

1. La fonction affine

1.1 Définition

Une fonction affine est une fonction qui peut être exprimée sous la forme :
\[ f(x) = ax + b \]
où :

• \( a \) est le coefficient directeur (pente)


• \( b \) est l'ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe des ordonnées)


• \( x \) est la variable indépendante


• \( f(x) \) est la variable dépendante

Cette définition nous montre que la fonction affine est une relation linéaire entre la variable indépendante \( x \) et la variable dépendante \( f(x) \). Le coefficient \( a \) détermine l'inclinaison de la droite, tandis que \( b \) indique où la droite croise l'axe des ordonnées.

1.2 Propriétés

Les fonctions affines possèdent plusieurs propriétés importantes :

• Si \( a > 0 \), la fonction est croissante. Cela signifie que pour deux valeurs \( x_1 \) et \( x_2 \) telles que \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) < f(x_2) \).


• Si \( a < 0 \), la fonction est décroissante. Dans ce cas, pour deux valeurs \( x_1 \) et \( x_2 \) telles que \( x_1 < x_2 \), on a \( f(x_1) > f(x_2) \).


• Si \( a = 0 \), la fonction est constante, ce qui signifie que \( f(x) \) prend la même valeur pour tous les \( x \).

1.3 Exemple concret

Considérons la fonction affine suivante :
\[ f(x) = 2x + 3 \]
Ici, \( a = 2 \) et \( b = 3 \).

• Pour \( x = 0 \), \( f(0) = 3 \), donc le point (0, 3) est sur le graphique.


• Pour \( x = 1 \), \( f(1) = 5 \), donc le point (1, 5) est aussi sur le graphique.


• La fonction est croissante car \( a > 0 \).

#### Exemple supplémentaire
Prenons la fonction affine suivante :
\[ f(x) = -0.5x + 4 \]
Ici, \( a = -0.5 \) et \( b = 4 \).

• Pour \( x = 0 \), \( f(0) = 4 \), donc le point (0, 4) est sur le graphique.


• Pour \( x = 2 \), \( f(2) = 3 \), donc le point (2, 3) est aussi sur le graphique.


• La fonction est décroissante car \( a < 0 \).

1.4 Mini-exercice

Exercice : Déterminez si la fonction \( f(x) = -3x + 4 \) est croissante, décroissante ou constante.
Correction : Ici, \( a = -3 < 0 \), donc la fonction est décroissante.