Géométrie analytique dans le plan

La géométrie analytique est une branche des mathématiques qui permet d'étudier la géométrie à l'aide de coordonnées. Dans ce chapitre, nous allons explorer les concepts fondamentaux de la géométrie analytique dans le plan, en utilisant des outils comme les équations de droites et de cercles. Ce cours vous prépare non seulement à des exercices mathématiques, mais aussi à des applications concrètes dans des situations réelles.

1. Les coordonnées dans le plan

1.1 Système de coordonnées

Dans le plan, chaque point est défini par une paire de coordonnées

a(x, y)
. Le point A(2, 3) par exemple, est situé à 2 unités sur l'axe des abscisses (X) et 3 unités sur l'axe des ordonnées (Y). Les axes X et Y se croisent à l'origine O(0, 0), qui est le point de référence pour toutes les autres coordonnées.

Les coordonnées permettent de localiser précisément un point dans un espace à deux dimensions. Pour mieux comprendre, visualisons un quadrillage où chaque case représente une unité. En se déplaçant vers la droite sur l'axe des X, on augmente la valeur de x, tandis qu'en se déplaçant vers le haut sur l'axe des Y, on augmente la valeur de y.

#### Exercice pratique :
Identifiez les coordonnées des points suivants :

• Point B : 4 unités à droite et 5 unités en haut de l'origine.


• Point C : 3 unités à gauche et 2 unités en bas de l'origine.

Correction :

• Point B(4, 5)


• Point C(-3, -2)

1.2 Distance entre deux points

La distance entre deux points A(x1, y1) et B(x2, y2) est donnée par la formule :
\[ d = ext{d}(A, B) = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Cette formule découle du théorème de Pythagore, où la distance entre les points est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les différences des coordonnées.

Exemple concret :
Pour les points A(1, 2) et B(4, 6), la distance est :
\[ d = \\sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5 \]
Cela signifie que ces deux points sont séparés par une distance de 5 unités dans le plan.

#### Mini-exercice :
Calculez la distance entre les points D(3, 7) et E(6, 1).

Correction :
\[ d = \\sqrt{(6 - 3)^2 + (1 - 7)^2} = \\sqrt{3^2 + (-6)^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]
Ainsi, la distance entre D et E est de \(3\sqrt{5}\) unités.