Introduction

Les équations différentielles sont des outils mathématiques puissants qui permettent de modéliser des phénomènes variés, allant de la physique à l'économie. En Terminale générale, nous allons explorer les bases des équations différentielles, leur utilité et quelques méthodes de résolution. Ce chapitre est fondamental pour comprendre des systèmes dynamiques et des modèles mathématiques dans le monde réel.

1. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction à ses dérivées. Elle permet de décrire comment une quantité évolue dans le temps ou dans l'espace.

1.1 Types d'équations différentielles

Il existe plusieurs types d'équations différentielles, mais nous allons nous concentrer sur les deux principales :

• Équations différentielles ordinaires (EDO) : elles concernent une seule variable indépendante. Par exemple, l'équation \( rac{dy}{dt} = ky \) modélise la croissance exponentielle.


• Équations différentielles partielles (EDP) : elles impliquent plusieurs variables indépendantes. Nous n'aborderons pas les EDP en détail dans ce cours.

Exemple concret

Considérons une population de bactéries qui double toutes les heures. Si \( N(t) \) représente la population à l'heure \( t \), on peut modéliser cette croissance par l'équation \( rac{dN}{dt} = kN \) avec \( k = ext{ln}(2) \) pour un doublement horaire.

2. Résolution d'une équation différentielle simple

La résolution d'une équation différentielle consiste à trouver la fonction inconnue à partir de l'équation donnée.

2.1 Méthode de séparation des variables

Cette méthode est applicable lorsque l'équation peut être écrite sous la forme \( rac{dy}{dt} = g(t)h(y) \).

#### Étapes de la méthode
1. Séparer les variables : \( rac{1}{h(y)} dy = g(t) dt \)
2. Intégrer des deux côtés.
3. Résoudre pour \( y \).

Exemple concret