Dérivation : composées, fonctions inverses

Introduction

La dérivation est un outil fondamental en mathématiques qui permet d'étudier les variations des fonctions. Dans ce chapitre, nous allons explorer les règles de dérivation des fonctions composées et des fonctions inverses. Comprendre ces notions est essentiel pour résoudre des problèmes complexes et pour appréhender les applications en sciences, en économie et en ingénierie.

1. Dérivation des fonctions composées

La dérivation des fonctions composées repose sur la règle de la chaîne. Si nous avons deux fonctions, f et g, la dérivée de leur composition (f ∘ g)(x) = f(g(x)) est donnée par :

Formule de la règle de la chaîne

Si f est dérivable en g(x) et g est dérivable en x, alors :

$$ (f 08 g)'(x) = f'(g(x)) imes g'(x) $$

Exemple concret

Considérons les fonctions suivantes :
f(x) = x² et g(x) = sin(x).
Nous voulons dériver la fonction h(x) = f(g(x)) = (sin(x))².

1. Dérivons g(x) :
$$ g'(x) = cos(x) $$
2. Dérivons f en g(x) :
$$ f'(g(x)) = 2sin(x) $$
3. Appliquons la règle de la chaîne :
$$ h'(x) = 2sin(x) imes cos(x) $$