Dérivation : composées, fonctions inverses
Introduction
La dérivation est un outil fondamental en mathématiques qui permet d'étudier les variations des fonctions. Dans ce chapitre, nous allons explorer les règles de dérivation des fonctions composées et des fonctions inverses. Comprendre ces notions est essentiel pour résoudre des problèmes complexes et pour appréhender les applications en sciences, en économie et en ingénierie. Les concepts de dérivation sont également cruciaux pour le baccalauréat, notamment dans le cadre des spécialités scientifiques. L'importance de la dérivation se manifeste dans de nombreux domaines, notamment la physique, où elle est utilisée pour modéliser des phénomènes tels que la vitesse et l'accélération. De même, en économie, les dérivées sont utilisées pour analyser les coûts et les bénéfices.
1. Dérivation des fonctions composées
La dérivation des fonctions composées repose sur la règle de la chaîne. Si nous avons deux fonctions, f et g, la dérivée de leur composition (f ∘ g)(x) = f(g(x)) est donnée par :
Formule de la règle de la chaîne
Si f est dérivable en g(x) et g est dérivable en x, alors :
$$ (f g)'(x) = f'(g(x)) imes g'(x) $$
Exemple concret
Considérons les fonctions suivantes :
f(x) = x² et g(x) = sin(x).
Nous voulons dériver la fonction h(x) = f(g(x)) = (sin(x))².
1. Dérivons g(x) :
$$ g'(x) = cos(x) $$
2. Dérivons f en g(x) :
$$ f'(g(x)) = 2sin(x) $$
3. Appliquons la règle de la chaîne :
$$ h'(x) = 2sin(x) imes cos(x) $$
Cas pratique détaillé
Prenons un autre exemple : soit f(x) = e^x et g(x) = x². Nous allons dériver la fonction h(x) = f(g(x)) = e^(x²).
1. Dérivons g(x) :
$$ g'(x) = 2x $$
2. Dérivons f en g(x) :
$$ f'(g(x)) = e^{g(x)} = e^{x²} $$
3. Appliquons la règle de la chaîne :
$$ h'(x) = e^{x²} imes 2x $$
Mini-exercice
Dérivez la fonction suivante : h(x) = (3x + 1)².
Correction :
1. f(u) = u² avec u = 3x + 1, donc f'(u) = 2u = 2(3x + 1).
2. g(x) = 3x + 1, donc g'(x) = 3.
3. Appliquons la règle de la chaîne :
$$ h'(x) = 2(3x + 1) imes 3 = 6(3x + 1) $$
Application de la règle de la chaîne dans des problèmes pratiques