Introduction

La continuité est un concept fondamental en mathématiques qui permet de comprendre le comportement des fonctions sur un intervalle donné. Le théorème des valeurs intermédiaires, qui découle de cette notion, est un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à certaines équations. Dans ce cours, nous allons explorer ces concepts en profondeur, illustrés par des exemples concrets et des applications pratiques.

1. La continuité des fonctions

La continuité d'une fonction à un point et sur un intervalle est essentielle pour garantir que la fonction ne présente pas de "sauts" ou de "trous".

1.1 Définition de la continuité

Une fonction f est continue en un point a si :

• f(a) est défini,


• la limite de f(x) quand x tend vers a existe,


• la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a).

1.2 Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle [a, b] si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Par exemple, la fonction f(x) = x² est continue sur
\[ \mathbb{R} \] car elle ne présente ni sauts ni discontinuités.

#### Exemple concret :
Considérons la fonction f(x) = 2x + 1. Cette fonction est continue sur \[ \mathbb{R} \] car pour tout x, f(x) est défini et la limite existe pour chaque point. Si nous prenons a = 1, nous avons :

• f(1) = 2(1) + 1 = 3,


• \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 3 \] donc f est continue en 1.

2. Le théorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est un résultat clé qui s'applique aux fonctions continues.