Introduction

La continuité est un concept fondamental en mathématiques qui permet de comprendre le comportement des fonctions sur un intervalle donné. Le théorème des valeurs intermédiaires, qui découle de cette notion, est un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à certaines équations. Dans ce cours, nous allons explorer ces concepts en profondeur, illustrés par des exemples concrets et des applications pratiques.

1. La continuité des fonctions

La continuité d'une fonction à un point et sur un intervalle est essentielle pour garantir que la fonction ne présente pas de "sauts" ou de "trous". La continuité est une propriété qui assure une certaine régularité dans le comportement d'une fonction.

1.1 Définition de la continuité

Une fonction f est continue en un point a si :

• f(a) est défini,


• la limite de f(x) quand x tend vers a existe,


• la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a).

Cette définition peut être reformulée en des termes plus intuitifs : une fonction est continue en un point si, lorsque l'on se rapproche de ce point, la valeur de la fonction ne "saute" pas, mais suit un chemin lisse.

#### Exemple chiffré :
Considérons la fonction f(x) = 3x - 4. Vérifions la continuité en a = 2 :

• f(2) = 3(2) - 4 = 2,


• \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 3(2) - 4 = 2 \].

Ainsi, f est continue en 2. Pour illustrer davantage, prenons la fonction g(x) = x². Vérifions la continuité en a = 1 :

• g(1) = 1² = 1,


• \[ \lim_{x \to 1} g(x) = 1 \].

Nous constatons que g est également continue en 1.

1.2 Continuité sur un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle [a, b] si elle est continue en chaque point de cet intervalle. Par exemple, la fonction f(x) = x² est continue sur \[ \mathbb{R} \] car elle ne présente ni sauts ni discontinuités.

#### Exemple concret :
Considérons la fonction g(x) = 1/x sur l'intervalle [1, 3]. Cette fonction est continue sur [1, 3] car elle est définie et continue pour tous les x de cet intervalle. En revanche, si nous prenons l'intervalle [0, 3], g(x) n'est pas continue en 0, car elle n'est pas définie.

#### Mini-exercice :
Vérifiez si la fonction h(x) = √x est continue sur l'intervalle [0, 4].

• Vérification :

- h(0) = √0 = 0,
- \[ \lim_{x \to 0} h(x) = 0 \].