Cours de Mathématiques : Calcul littéral - Distributivité simple

Introduction

Le calcul littéral est une partie essentielle des mathématiques qui nous permet de travailler avec des lettres (ou variables) et des chiffres. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la distributivité simple. Cette notion est fondamentale pour simplifier les expressions algébriques et résoudre des équations. La distributivité est à la fois une technique et une propriété, qui peut être appliquée dans divers contextes mathématiques.

Qu'est-ce que la distributivité ?

La distributivité est une propriété qui nous permet de multiplier une somme par un nombre. En termes mathématiques, cela peut se formuler comme suit :

Définition de la distributivité

Pour tout nombre a, b et c :
a × (b + c) = a × b + a × c
Cela signifie que si vous multipliez a par la somme de b et c, c'est la même chose que de multiplier a par b et ensuite a par c, puis d'additionner les résultats.

Exemple concret

Prenons un exemple simple :
Soit a = 2, b = 3 et c = 5.
Nous avons donc :

• Calcul direct :

- 2 × (3 + 5) = 2 × 8 = 16

• En utilisant la distributivité :

- 2 × 3 + 2 × 5 = 6 + 10 = 16

Dans les deux cas, nous obtenons le même résultat, ce qui montre que la distributivité fonctionne bien.

Application de la distributivité

Cas d'une expression littérale

Imaginons maintenant que nous ayons une expression littérale :
3 × (x + 4)
Pour appliquer la distributivité, nous allons multiplier 3 par chaque terme à l'intérieur des parenthèses :

• 3 × (x + 4) = 3 × x + 3 × 4


• Ce qui donne :

- 3x + 12

Exemple chiffré

Prenons un exemple numérique :
Soit l'expression 2 × (y + 6)

• En appliquant la distributivité :

- 2 × (y + 6) = 2y + 12

Cas avec plusieurs termes

La distributivité peut également être appliquée à des expressions avec plusieurs termes. Par exemple :
5 × (x + 2y + 3)
Nous allons multiplier 5 par chaque terme :

• 5 × (x + 2y + 3) = 5 × x + 5 × 2y + 5 × 3


• Ce qui donne :

- 5x + 10y + 15

Application à des expressions complexes

La distributivité peut également être utilisée dans des expressions plus complexes. Par exemple, considérons l'expression :