Cours de Mathématiques : Théorème de Pythagore et sa réciproque
Introduction au théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est l'une des notions fondamentales en géométrie, surtout lorsque l'on parle des triangles. Ce théorème concerne spécifiquement les triangles rectangles, c'est-à-dire les triangles qui ont un angle droit (90 degrés). Ce concept est non seulement central pour les mathématiques, mais il trouve aussi des applications dans de nombreux domaines tels que l'architecture, l'ingénierie, la navigation, et même l'informatique.
Définition d'un triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Les côtés qui forment cet angle sont appelés les
côtés adjacents ou
côtés de l'angle droit. Le côté opposé à l'angle droit est appelé l'
hypoténuse.
Énoncé du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore énonce que :
> Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (c) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (a et b).
Cela se formule mathématiquement comme suit :
a² + b² = c² Où :
- a et b sont les longueurs des côtés adjacents à l'angle droit.
- c est la longueur de l'hypoténuse.
Exemples concrets
Pour bien comprendre ce théorème, examinons quelques exemples chiffrés.
Exemple 1
Imaginons un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3 cm et 4 cm. Calculons la longueur de l'hypoténuse :
- On note a = 3 cm et b = 4 cm.
- Selon le théorème de Pythagore :
a² + b² = c²
Donc :
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
En prenant la racine carrée des deux côtés, nous trouvons :
c = √25
c = 5 cm
Ainsi, l'hypoténuse mesure 5 cm.
Exemple 2
Prenons un autre triangle rectangle où les côtés mesurent 5 cm et 12 cm. Calculons l'hypoténuse :
- On note a = 5 cm et b = 12 cm.
- Appliquons le théorème de Pythagore :
a² + b² = c²
Donc :