Fonctions linéaires et fonctions affines

Introduction

Dans ce cours, nous allons explorer les fonctions linéaires et les fonctions affines, des concepts fondamentaux en mathématiques qui te seront très utiles, non seulement pour le brevet, mais aussi dans de nombreux domaines scientifiques. Les fonctions sont omniprésentes dans la vie quotidienne, que ce soit dans la gestion de finances, la physique, ou même la biologie. Comprendre ces concepts te permettra de mieux appréhender les relations entre les variables.

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Avant de plonger dans les fonctions linéaires et affines, il est important de comprendre ce qu'est une fonction en mathématiques. Une fonction est une relation entre deux ensembles, où chaque élément du premier ensemble est associé à un seul élément du second ensemble.

Par exemple, si tu as une fonction qui associe chaque nombre entier à son double, alors 3 est associé à 6, 4 à 8, et ainsi de suite. Les fonctions peuvent être représentées sous forme de tableaux, de graphiques ou d'équations.

Fonctions linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction qui peut être représentée par une droite passant par l'origine dans un plan cartésien. Elle a une formule de la forme :

\[ f(x) = ax \]

où \( a \) est un nombre réel et \( x \) est la variable. Le coefficient \( a \) est souvent appelé la pente de la droite.

Exemple simple

Prenons la fonction \( f(x) = 2x \). Cela signifie que pour chaque valeur de \( x \), la valeur de \( f(x) \) est le double de \( x \). Par exemple :

• Si \( x = 1 \), alors \( f(1) = 2 \times 1 = 2 \).


• Si \( x = 3 \), alors \( f(3) = 2 \times 3 = 6 \).

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine (le point (0,0)). La pente de cette droite est déterminée par le coefficient \( a \). Si \( a \) est positif, la droite monte ; si \( a \) est négatif, elle descend.


Propriétés

• Pente : La pente est le coefficient \( a \), qui indique l'inclinaison de la droite. Une pente de 1 signifie que pour chaque augmentation de 1 de \( x \), \( f(x) \) augmente de 1.


• Origine : Toutes les fonctions linéaires passent par l'origine (0,0).

Application concrète

Imaginons que tu souhaites calculer le montant d'argent que tu gagnerais en fonction du nombre d'heures que tu travailles. Si tu es payé 10 euros de l'heure, la fonction qui représente ton salaire \( S \) en fonction des heures travaillées \( h \) est \( S(h) = 10h \). Si tu travailles 5 heures, tu gagneras \( S(5) = 10 \times 5 = 50 \) euros.

Exemple avec des graphiques

Imaginons que tu souhaites visualiser le salaire en fonction des heures travaillées. La fonction \( S(h) = 10h \) peut être représentée sur un graphique où l'axe des abscisses (horizontal) représente les heures travaillées et l'axe des ordonnées (vertical) représente le salaire. Voici quelques points à tracer :

• (0, 0) : 0 heures travaillées, 0 euros gagnés