Équations et inéquations du premier degré

Introduction

Dans ce cours, nous allons explorer les équations et inéquations du premier degré, un sujet fondamental en mathématiques qui vous aidera à résoudre des problèmes variés. Comprendre ces concepts est essentiel pour réussir le brevet et pour vos études futures. Nous allons commencer par définir ce qu'est une équation, puis nous verrons comment les résoudre. Nous aborderons ensuite les inéquations, qui sont très similaires aux équations mais avec quelques différences importantes.

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Définition

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues. Une équation du premier degré est une équation où l'inconnue est à la puissance 1. Par exemple, l'équation $2x + 3 = 7$ est une équation du premier degré car l'inconnue $x$ n'est pas élevée à une puissance supérieure à 1.

Comment résoudre une équation du premier degré

Pour résoudre une équation du premier degré, l'objectif est de trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.

#### Exemple simple

Prenons l'équation $x + 5 = 9$.

1. Identifier l'inconnue : Ici, l'inconnue est $x$.
2. Isoler l'inconnue : Soustrayons 5 des deux côtés pour isoler $x$ :
$$x + 5 - 5 = 9 - 5$$
Ce qui nous donne $x = 4$.
3. Vérifier la solution : Remplaçons $x$ par 4 dans l'équation originale :
$$4 + 5 = 9$$
L'égalité est vérifiée, donc $x = 4$ est la solution.

#### Exemple plus complexe

Résolvons maintenant $3x - 7 = 2x + 5$.

1. Regrouper les termes en $x$ : Soustrayons $2x$ des deux côtés :
$$3x - 2x - 7 = 2x - 2x + 5$$
Ce qui simplifie à $x - 7 = 5$.
2. Isoler $x$ : Ajoutons 7 des deux côtés :
$$x - 7 + 7 = 5 + 7$$
Ce qui donne $x = 12$.
3. Vérifier la solution : Remplaçons $x$ par 12 dans l'équation originale :
$$3(12) - 7 = 2(12) + 5$$
Ce qui donne $36 - 7 = 24 + 5$, donc $29 = 29$. L'égalité est vérifiée.

Qu'est-ce qu'une inéquation du premier degré ?

Définition