Statistiques à deux variables

Introduction

Dans de nombreuses situations professionnelles, notamment en comptabilité et gestion, nous devons analyser les relations entre deux variables quantitatives. Par exemple :

• La relation entre le chiffre d'affaires et les charges publicitaires


• Le lien entre l'âge des clients et leur montant d'achat


• La corrélation entre la formation du personnel et la productivité

Les statistiques à deux variables nous permettent de :

• Visualiser graphiquement la relation entre deux variables


• Mesurer l'intensité de cette relation


• Modéliser cette relation par une droite de régression


• Faire des prévisions

1. Nuage de points et point moyen

1.1 Le nuage de points

Lorsque nous disposons de n observations de deux variables X et Y, nous obtenons n couples (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ).

La représentation graphique de ces couples dans un repère orthonormé s'appelle un nuage de points.

1.2 Le point moyen G

Le point moyen G a pour coordonnées (x̄, ȳ) où :

• x̄ = moyenne arithmétique des valeurs de X


• ȳ = moyenne arithmétique des valeurs de Y

Formules :
```
x̄ = (1/n) × Σ xᵢ
ȳ = (1/n) × Σ yᵢ
```

Propriété importante : Le point moyen G appartient toujours à la droite de régression.

1.3 Exemple numérique

Une entreprise étudie la relation entre ses dépenses publicitaires (X, en k€) et son chiffre d'affaires (Y, en k€) sur 6 mois :

Mois	Publicité X (k€)	CA Y (k€)
------	------------------	-----------
1	5	120
2	8	180
3	12	250
4	15	310
5	18	360
6	22	420

Calcul du point moyen :
```
x̄ = (5 + 8 + 12 + 15 + 18 + 22) / 6 = 80 / 6 = 13,33 k€
ȳ = (120 + 180 + 250 + 310 + 360 + 420) / 6 = 1640 / 6 = 273,33 k€
```

Le point moyen est G(13,33 ; 273,33).

2. La covariance

2.1 Définition

La covariance mesure la tendance de deux variables à varier ensemble. Elle indique si les variables évoluent dans le même sens ou en sens contraire.

Formule :
```
Cov(X,Y) = (1/n) × Σ (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)
```

2.2 Interprétation

• Si Cov(X,Y) > 0 : les variables évoluent dans le même sens (relation croissante)


• Si Cov(X,Y) < 0 : les variables évoluent en sens contraire (relation décroissante)


• Si Cov(X,Y) = 0 : les variables ne sont pas liées linéairement

2.3 Calcul pratique

Pour faciliter les calculs, on peut utiliser la formule développée :
```
Cov(X,Y) = (1/n) × Σ (xᵢ × yᵢ) - x̄ × ȳ
```

2.4 Exemple numérique (suite)

Reprenons notre exemple avec le tableau complété :

Mois	X	Y	xᵢ - x̄	yᵢ - ȳ	(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ)	xᵢ × yᵢ
------	---	---	--------	--------	-------------------	---------
1	5	120	-8,33	-153,33	1277,78	600
2	8	180	-5,33	-93,33	497,78	1440
3	12	250	-1,33	-23,33	31,11	3000