Les dérivées et applications économiques

Introduction

Dans le cadre du BTS Comptabilité et Gestion (BTS CG), la compréhension des dérivées et de leurs applications économiques est essentielle. Les dérivées sont des outils mathématiques qui permettent d'analyser comment une fonction varie. En économie, elles sont utilisées pour étudier des phénomènes tels que la maximisation du profit, la minimisation des coûts et l'élasticité de la demande. Ce cours a pour objectif de vous familiariser avec ces concepts clés et de vous fournir des outils pratiques pour les appliquer dans des situations économiques concrètes.

1. Qu'est-ce qu'une dérivée ?

La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en mathématiques qui mesure le taux de variation de cette fonction par rapport à une variable. En d'autres termes, elle indique comment la valeur d'une fonction change lorsque l'on modifie légèrement l'entrée.

1.1 Définition formelle

La dérivée d'une fonction f(x) à un point x=a est définie comme :
$$f'(a) = \text{lim}_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
Cette définition repose sur le concept de limite, qui est fondamental en analyse mathématique.

1.2 Interprétation graphique

Graphiquement, la dérivée d'une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Une pente positive indique que la fonction augmente, tandis qu'une pente négative indique qu'elle diminue. Pour mieux visualiser cela, pensez à une route : si la route monte, vous avez une pente positive ; si elle descend, la pente est négative.

2. Calcul des dérivées

Il existe plusieurs règles pour calculer les dérivées. Voici quelques-unes des règles les plus courantes :

2.1 Règle de la somme

Si $f(x) = u(x) + v(x)$, alors
$$f'(x) = u'(x) + v'(x)$$

2.2 Règle du produit

Si $f(x) = u(x) * v(x)$, alors
$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

2.3 Règle du quotient

Si $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, alors
$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$

2.4 Règle de la chaîne

Si $f(x) = g(h(x))$, alors
$$f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)$$