Les lois de probabilité — binomiale et normale

Introduction

Les lois de probabilité sont des outils statistiques fondamentaux qui permettent de modéliser des phénomènes aléatoires. Elles sont particulièrement utiles dans le cadre du BTS CG, car elles aident à prendre des décisions éclairées basées sur des données. Dans ce cours, nous allons explorer les lois de probabilité binomiale et normale, deux des plus importantes dans le domaine de la statistique.

1. La loi de probabilité binomiale

1.1 Définition

La loi binomiale est une loi de probabilité qui modélise le nombre de succès dans une séquence d'essais indépendants, où chaque essai a deux résultats possibles : succès ou échec. Elle est définie par deux paramètres :

• n : le nombre total d'essais.


• p : la probabilité de succès lors d'un essai.

#### Exemple de situation
Imaginons que vous êtes responsable de la qualité d'une production de lampes LED. Vous savez que 90 % des lampes passent le test de qualité. Vous décidez de tester 15 lampes. Vous pouvez modéliser le nombre de lampes réussies avec la loi binomiale.

1.2 Formule

La probabilité d'obtenir exactement k succès dans n essais est donnée par la formule :
$$ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} $$

où C(n, k) est le coefficient binomial, calculé comme suit :
$$ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

1.3 Exemples pratiques

#### Exemple 1
Imaginons que vous ayez un produit qui a 80 % de chances de réussir un test de qualité. Si vous testez 10 produits, quelle est la probabilité que 8 d'entre eux passent le test ?

• Ici, n = 10, p = 0,8, et k = 8.


• On calcule d'abord C(10, 8) :

- C(10, 8) = 10! / (8! * 2!) = 45

• Ensuite, on applique la formule :

$$ P(X = 8) = 45 \cdot (0,8)^8 \cdot (0,2)^2 $$

Pour calculer cela, nous devons d'abord évaluer les puissances :

• $(0,8)^8 = 0,1678$


• $(0,2)^2 = 0,04$

Ainsi :
$$ P(X = 8) = 45 \cdot 0,1678 \cdot 0,04 = 0,3014 $$

Donc, la probabilité que 8 produits passent le test est d'environ 30,14 %.