Les Statistiques en Assurance — Techniques Actuarielles et Tarification

Matière : Techniques Actuarielles et Tarification
Niveau : BTS Assurance — 2ème année
Épreuves concernées : E5 (coeff. 4) — Techniques d'assurance, souscription, tarification, provisions
Durée de lecture estimée : 45 minutes

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📌 Objectifs pédagogiques

À l'issue de ce chapitre, l'étudiant doit être capable de :

• Maîtriser les outils statistiques fondamentaux appliqués à l'assurance


• Calculer une prime pure à partir de la fréquence et du coût moyen des sinistres


• Distinguer les différentes méthodes de tarification et leur cadre réglementaire


• Comprendre les méthodes de provisionnement (Chain Ladder)


• Relier les données statistiques aux exigences de Solvabilité II

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Introduction

Les statistiques constituent le socle mathématique de toute l'activité assurantielle. Elles permettent à l'assureur d'accomplir sa mission fondamentale : mutualiser les risques de façon équitable et pérenne. Sans statistiques, il est impossible de tarifer correctement un contrat, de provisionner les sinistres futurs, ou de respecter les exigences réglementaires de Solvabilité II.

Dans le cadre du BTS Assurance, la maîtrise des statistiques est attendue à l'épreuve E5 (Techniques d'assurance, coefficient 4), qui porte notamment sur la souscription, la production, la gestion des sinistres et le calcul des provisions. Loin d'être une discipline abstraite, la statistique appliquée à l'assurance est un outil opérationnel que le gestionnaire utilise au quotidien, qu'il s'agisse d'évaluer un portefeuille, de segmenter une clientèle ou d'alerter sur la dérive d'un ratio de sinistralité.

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1. Les Indicateurs Statistiques Fondamentaux

1.1 Les mesures de tendance centrale

#### La moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est la somme de toutes les valeurs divisée par leur nombre. C'est l'indicateur le plus utilisé pour estimer le coût moyen d'un sinistre.

> Formule : Moyenne = (Somme des valeurs) ÷ (Nombre de valeurs)

Exemple concret — assurance MRH :
Un gestionnaire analyse les indemnisations versées sur cinq dossiers dégâts des eaux : 800 €, 1 200 €, 950 €, 2 100 € et 1 450 €.
Moyenne = (800 + 1 200 + 950 + 2 100 + 1 450) ÷ 5 = 6 500 ÷ 5 = 1 300 €
Ce coût moyen de 1 300 € servira de base au calcul de la prime pure pour ce type de sinistre.

#### La médiane

La médiane est la valeur qui partage la série statistique en deux groupes égaux, après classement par ordre croissant. Elle est particulièrement utile lorsque la série contient des valeurs extrêmes (sinistres catastrophiques, par exemple), car elle n'en est pas influencée.

Même exemple : valeurs triées = 800, 950, 1 200, 1 450, 2 100
Médiane = valeur centrale = 1 200 €

> Règle de lecture : Si la moyenne est nettement supérieure à la médiane, cela révèle la présence de sinistres à coût élevé qui tirent la moyenne vers le haut. L'actuaire doit alors vérifier si ces sinistres atypiques doivent être traités séparément (clause de plafond, réassurance).

#### Le mode

Le mode est la valeur la plus fréquente dans la distribution. En assurance automobile, si la majorité des sinistres matériels se règle autour d'un même montant, le mode oriente la politique de franchise.

1.2 Les mesures de dispersion

#### L'écart type et la variance

L'écart type mesure l'étendue de la variation des sinistres autour de la moyenne. Un écart type faible signifie que les sinistres sont homogènes et prévisibles ; un écart type élevé traduit une forte incertitude, qui doit se refléter dans les chargements de sécurité intégrés à la prime commerciale.

> Variance = moyenne des carrés des écarts à la moyenne
> Écart type = racine carrée de la variance

Application pratique : Un portefeuille de contrats Responsabilité Civile Professionnelle avec un écart type très élevé sur le coût des sinistres justifie une marge de sécurité plus importante, conformément aux exigences du Best Estimate prévu par Solvabilité II.

#### Le coefficient de variation

Le coefficient de variation (rapport entre l'écart type et la moyenne, exprimé en pourcentage) permet de comparer la dispersion de portefeuilles de tailles différentes. Il est utilisé en tarification pour comparer l'homogénéité de différents segments de risque.

1.3 Les distributions de probabilité en assurance

#### La loi normale (loi de Gauss)

La loi normale modélise des phénomènes qui se répartissent symétriquement autour d'une valeur centrale. Elle est utilisée pour modéliser la fréquence agrégée des sinistres dans les grands portefeuilles homogènes (ex. : assurance habitation standard).

#### La loi de Poisson

La loi de Poisson modélise le nombre de sinistres survenant dans un intervalle de temps donné, lorsque les événements sont rares et indépendants. Elle est fréquemment utilisée pour la fréquence des sinistres auto ou des accidents corporels.

#### La loi log-normale

La loi log-normale est particulièrement adaptée à la modélisation du coût des sinistres, car les montants d'indemnisation sont toujours positifs et présentent souvent une distribution asymétrique (beaucoup de petits sinistres, quelques très gros).

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2. La Tarification : du Risque à la Prime

2.1 La structure de la prime — Distinction fondamentale

La tarification en assurance repose sur une architecture stricte qu'il est impératif de maîtriser pour l'épreuve E5.

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PRIME PURE → PRIME NETTE → PRIME COMMERCIALE (TTC)
```

#### La prime pure (ou prime de risque)

La prime pure est calculée à partir de deux paramètres statistiques fondamentaux :

> Prime pure = Fréquence des sinistres × Coût moyen des sinistres

• Fréquence = Nombre de sinistres survenus ÷ Nombre de contrats en portefeuille


• Coût moyen = Total des indemnisations versées ÷ Nombre de sinistres

Exemple — assurance auto :