Algorithmique : programmation dynamique

Introduction

La programmation dynamique est une technique algorithmique puissante, souvent utilisée pour résoudre des problèmes d'optimisation. Elle repose sur le principe de la décomposition d'un problème complexe en sous-problèmes plus simples, dont les solutions sont mémorisées pour éviter les recalculs. Dans ce cours, nous allons explorer ses principes fondamentaux, ses applications concrètes et les étapes clés pour l'appliquer efficacement.

1. Principe de la programmation dynamique

La programmation dynamique est souvent utilisée pour résoudre des problèmes qui peuvent être divisés en sous-problèmes qui se chevauchent. Cela signifie que les mêmes sous-problèmes sont résolus plusieurs fois, et la programmation dynamique utilise la mémorisation pour stocker les résultats de ces sous-problèmes afin d'éviter des calculs redondants.

1.1. Mémorisation et table de résultats

La mémorisation consiste à enregistrer les résultats des sous-problèmes dans une table. Par exemple, si nous avons un problème de calcul de la suite de Fibonacci, au lieu de recalculer les valeurs pour F(n-1) et F(n-2) plusieurs fois, nous les stockons dans un tableau. Cela réduit le temps de calcul de manière significative.

Exemple concret :
Pour calculer F(5) dans la suite de Fibonacci :

• F(0) = 0, F(1) = 1


• F(2) = F(1) + F(0) = 1


• F(3) = F(2) + F(1) = 2


• F(4) = F(3) + F(2) = 3


• F(5) = F(4) + F(3) = 5

En utilisant la mémorisation, nous évitons de recalculer les valeurs déjà trouvées.

2. Applications de la programmation dynamique

La programmation dynamique est utilisée dans divers domaines, notamment le calcul des chemins optimaux, la théorie des graphes et la bioinformatique. Voici quelques applications concrètes.

2.1. Problème du sac à dos